Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：壓軸題

分析：（Ⅰ）利用極值點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再通過單調(diào)性驗(yàn)證參數(shù)適合題意；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）利用導(dǎo)函數(shù)值研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，必須討論極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f ′(x)=2x-

2a2

x

=

2x2-2a2

x

=

2(x+a)(x-a)

x

，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
當(dāng)a=1時，x∈（0，1），f′（x）＜0；
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以a的值為1．
（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
當(dāng)x在（0，+∞）內(nèi)變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
（Ⅲ）要使f（x）在[1，e]上沒有零點(diǎn)，只需在[1，e]上f（x）_min＞0或f（x）_max＜0，
又f（1）=1＞0，只須在區(qū)間[1，e]上f（x）_min＞0．
（1）當(dāng)a≥e時，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=e2-2a2＞0，
解得 0＜a＜

2 e

2

與a≥e矛盾．
（2）當(dāng)1＜a＜e時，f（x）在區(qū)間[1，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
f(x)min=f(a)=a2(1-2lna)＞0，解得0＜a＜

e

，
所以1＜a＜

e

．
（3）當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）＞0，滿足題意．
綜上，a的取值范圍為：0＜a＜

e

．

點(diǎn)評：本題考查的是導(dǎo)函數(shù)知識，包括導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)與極值，并利用極值研究方程的根，本題還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于難題．