Question

13．已知a＞0，b＞0，c＞0，則$\frac{{ab+2ac+3\sqrt{2}bc}}{{{a^2}+{b^2}+4{c^2}}}$的最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 a²+b²+4c²=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²）+（$\frac{1}{4}$b²+$\frac{3}{4}$b²）+（c²+3c²），調(diào)整，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)a²+b²+4c²=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²）+（$\frac{1}{4}$b²+$\frac{3}{4}$b²）+（c²+3c²）
=（$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²）+（$\frac{1}{2}$a²+c²）+（$\frac{3}{4}$b²+3c²）
≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$ab+$\sqrt{2}$ac+3bc
∴ab+2ac+3$\sqrt{2}$bc≤$\sqrt{2}$（a²+b²+4c²），
∴$\frac{{ab+2ac+3\sqrt{2}bc}}{{{a^2}+{b^2}+4{c^2}}}$≤$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，b=2c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$時(shí)，等號(hào)成立．
∴$\frac{{ab+2ac+3\sqrt{2}bc}}{{{a^2}+{b^2}+4{c^2}}}$的最大值是$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查重要不等式的運(yùn)用：求最值，正確變形是關(guān)鍵．