Question

18．f（x）=x²-lnx²，若α∈（0，π），且f（sinα）＞f（cosα），則α的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）
• B． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• D． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 求出f（x）的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到sinα＜|cosα|，結(jié)合α的范圍，求出滿足條件的a的范圍即可．

解答 解：f（x）=x²-lnx²的定義域是{x|x≠0}，
x＞0時，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
而f（-x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，0）遞增，
若f（sinα）＞f（cosα），
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜α＜π}\\{sinα＜|cosα|}\end{array}\right.$，
解得：0＜α＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$＜α＜π，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性．奇偶性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．