Question

8．如圖，B（-c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足為H，且$\overrightarrow{BH}$=3$\overrightarrow{HC}$．又$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，且A、D同在B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 由題意得到H的橫坐標(biāo)，設(shè)出A的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，把D的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示，然后分別把A，D的坐標(biāo)代入橢圓方程，聯(lián)立消去A的縱坐標(biāo)求得橢圓的離心率．

解答 解：∵B（-c，0），C（c，0），
∴由$\overrightarrow{BH}$=3$\overrightarrow{HC}$，解出H（$\frac{c}{2}$，0），
∵AH⊥BC，可設(shè)A（$\frac{c}{2}$，y₀），
再設(shè)D（x₁，y₁），
$\overrightarrow{AD}=（{x}_{1}-\frac{c}{2}，{y}_{1}-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{DB}=（-c-{x}_{1}，-{y}_{1}）$．
又$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，
∴$（{x}_{1}-\frac{c}{2}，{y}_{1}-{y}_{0}）=（4c+4{x}_{1}，4{y}_{1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-\frac{c}{2}=4c+4{x}_{1}}\\{{y}_{1}-{y}_{0}=4{y}_{1}}\end{array}\right.$，
解得：D（$-\frac{3c}{2}$，$-\frac{{y}_{0}}{3}$），
將A（$\frac{c}{2}$，y₀），D（$-\frac{3c}{2}$，$-\frac{{y}_{0}}{3}$）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y₀得：$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題給出三角形滿足的幾何關(guān)系和向量等式，求橢圓的離心率．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．