Question

3．設(shè)f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0是F（x）在x=0處可導(dǎo)的（　　）

• A． 充分必要條件
• B． 充分條件但非必要條件
• C． 必要條件但非充分條件
• D． 既非充分條件又非必要條件

Answer 1

分析 由f（0）=0可得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）（1+|sinx|）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$=f′（0）；
若F（x）在x=0處可導(dǎo)，當(dāng)x在0的左側(cè)附近時(shí)，F(xiàn)′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，當(dāng)x在0的右側(cè)附近時(shí)，F(xiàn)′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，從而可得$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）-f（0），$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）+f（0），從而可得f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），從而解得．

解答 解：∵f（0）=0，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）（1+|sinx|）}{x}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$=f′（0），
故F（x）在x=0處可導(dǎo)；
若F（x）在x=0處可導(dǎo)，
當(dāng)x在0的左側(cè)附近時(shí)，
F（x）=f（x）（1-sinx），
F′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，
當(dāng)x在0的右側(cè)附近時(shí)，
F（x）=f（x）（1+sinx），
F′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，
故$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）-f（0），
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）+f（0），
∴f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），
∴f（0）=0；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及左右極限的應(yīng)用．