Question

20．函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的解析式為$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$
（1）試寫(xiě)出f（x）在R上的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）在R上的值域．

Answer 1

分析 （1）已知當(dāng)x＞0時(shí)的解析式求出x＜0時(shí)的解析式，并且函數(shù)是R上的奇函數(shù)，可得出f（0）=0，從而求出函數(shù)在定義域上的解析式；
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，y=1+2^x為單調(diào)增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，再根據(jù)x的取值變化，即可求出值域．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0，
綜上所述，f（x）在R上的函數(shù)表達(dá)式f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
（2）由于f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=1+2^x為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，
∴函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-1，
當(dāng)x→+∞時(shí)，2^x+1→+∞，即$\frac{2}{{2}^{x}+1}$→0，
∴f（x）→1，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式和值域的求法，函數(shù)的奇偶性，整體代換的思想，奇函數(shù)在x=0處f（0）=0的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．