Question

8．已知數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列，且a₂=2，并且a₃，a₆，a₁₂成等比數(shù)列，則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 通過(guò)a₃，a₆，a₁₂成等比數(shù)列及a₂=2可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
又∵a₂=2，
∴a₃=2+d，a₆=2+4d，a₁₂=2+10d，
∵a₃，a₆，a₁₂成等比數(shù)列，
∴（2+4d）²=（2+d）（2+10d），
∴d=1或d=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為：a_n=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，涉及到等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．