Question

8．某校開展校園文化活動，其中一項是背誦古詩100首，在該項進(jìn)行一段時間后，隨機(jī)抽取40人，統(tǒng)計調(diào)查了他們會背古詩的首數(shù)，得到的數(shù)據(jù)如下：
20 21 22 23 24 24 25 26 26 27 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31
32 32 33 34 35 35 36 36 37 38 38 38 40 40 41 42 42 43 46 48
（1）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)補全如下分組為[20，25），[25，30），…[40，45），[45，50）的頻率直方圖；

（2）從會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[30，40）內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[30，35），[35，40）內(nèi)各有一人的概率；
（3）從會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[30，40）內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[35，40）內(nèi)的人數(shù)，ξ的概率分別列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出小組[25，30）、[30，35）內(nèi)的頻數(shù)、頻率以及 $\frac{頻率}{組距}$，補全頻率分布直方圖即可；
（2）求出會背古詩首數(shù)在區(qū)間[30，35）與[35，40）內(nèi)的學(xué)生數(shù)，計算概率即可．
（3）求出ξ的取值，得到概率，列出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得；
小組[25，30）內(nèi)的頻數(shù)是8，
對應(yīng)的頻率是$\frac{8}{40}$=0.2，
$\frac{頻率}{組距}$=$\frac{0.2}{5}$=0.04；
小組[30，35）內(nèi)的頻數(shù)是10，
對應(yīng)的頻率是$\frac{10}{40}$=0.25，
$\frac{頻率}{組距}$=$\frac{0.25}{5}$=0.05；
由此補全頻率分布直方圖如下；

（2）會背古詩首數(shù)在區(qū)間[30，35）內(nèi)的學(xué)生數(shù)是10人，
在區(qū)間[35，40）內(nèi)的學(xué)生數(shù)是8人，
從這18人中隨機(jī)抽取2人，會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[30，35），[35，40）內(nèi)各有一人的概率為
P=$\frac{{C}_{8}^{1}•{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$．
（3）從會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[30，40）內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求會背的古詩首數(shù)在區(qū)間[35，40）內(nèi)的人數(shù)，ξ的取值為：0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}•{C}_{10}^{0}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{28}{153}$
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}•{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{8}^{0}•{C}_{10}^{2}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{45}{153}$．
ξ的概率分別列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{28}{153}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{45}{153}$

它的數(shù)學(xué)期望．Eξ=$\frac{28}{153}$×0+$1×\frac{80}{153}$+$2×\frac{45}{153}$=$\frac{170}{153}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了古典概率的計算問題分布列以及期望的求法，是中檔題．