Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，
E為棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)AD⊥CD及線(xiàn)面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，連接EG，則∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，∠EGF二面角E-AC-B的平面角的補(bǔ)角，利用勾股定理即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD為正方形，∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，連接EG，
∵平面PAD⊥平面ABCD且相交于AD，EF?平面PAD，
∴EF⊥平面ABCD，
又FG?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF⊥FG，EF⊥AC，
又FG⊥AC，EF∩FG=F，
∴AC⊥平面EFG，
又EG?平面EFG，∴EG⊥AC，
∴∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，
∴∠EGF二面角E-AC-B的平面角的補(bǔ)角，
設(shè)AD=4，在△PAD中，有PA⊥PD，
則$PA=PD=2\sqrt{2}$，∠PDA=45°，
又E為棱PD的中點(diǎn)，則$ED=\sqrt{2}$，EF=DF=1，AF=3，
在Rt△AGF中，$FG=AFsin∠FAG=3×sin45°=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
在Rt△EFG中，$EG=\sqrt{E{F^2}+F{G^2}}=\frac{{\sqrt{22}}}{2}$，
則$cos∠EGF=\frac{FG}{EG}=\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$，
∴二面角E-AC-B的余弦值為$-\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．