6．已知F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦點，P是C上一點，A（-2，1），當△APF周長最小時，其面積為4．

分析 利用橢圓的定義，確定△APF周長最小時，P的坐標，即可求出△APF周長最小時，該三角形的面積．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=2$\sqrt{5}$，b=2，c=4，
設左焦點為F'（-4，0），右焦點為F（4，0）．
△APF周長為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a-|PF'|）
=|AF|+|AP|-|PF'|+2a≥|AF|-|AF'|+2a，
當且僅當A，P，F(xiàn)'三點共線，即P位于x軸上方時，三角形周長最�。�
此時直線AF'的方程為y=$\frac{1}{2}$（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），
故S△APF=S△PF'F-S△AF'F=$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×1×8=4．
故答案為：4．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查三角形面積的計算，確定P的坐標是關鍵．

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（1）在直角坐標系中，求點P的軌跡E的方程和曲線C的方程
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