Question

11．已知直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)P（1+cosα，sinα）參數(shù)α∈[0，2π]，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動點(diǎn)Q（ρ，θ）在曲線C：$\frac{sinθ}{a}$-cosθ=$\frac{1}{ρ}$上
（1）在直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P的軌跡E的方程和曲線C的方程
（2）若動點(diǎn)P的軌跡E和曲線C有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），消去參數(shù)α，得（x-1）²+y²=1能求出點(diǎn)P的軌跡E的方程；由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C的方程．
（2）由已知得直線與圓相交，圓心（1，0）到直線ax-y+a=0，（a≠0）的距離小于半徑1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
消去參數(shù)α，得（x-1）²+y²=1為點(diǎn)P的軌跡E的方程，
由曲線C：$\frac{sinθ}{a}-cosθ=\frac{1}{ρ}$，得ρsinθ-aρcosθ=a，且a≠0，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得曲線C的方程為：ax-y+a=0（a≠0）．
（2）曲線C的方程為：ax-y+a=0，（a≠0），
即y=a（x+1），a≠0，
表示過點(diǎn)（-1，0），斜率為a的直線，
動點(diǎn)P的軌跡E是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，
∵′動點(diǎn)P的軌跡E和曲線C有兩個公共點(diǎn)，
∴直線與圓相交，∴圓心（1，0）到直線ax-y+a=0，（a≠0）的距離小于半徑1，
即d=$\frac{|a+a||}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＜1，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜a＜0$或0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查直線與曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．