Question

3．如圖，等邊三角形OAB的邊長為8$\sqrt{3}$，且三個頂點(diǎn)均在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；
（Ⅱ）求拋物線E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）根據(jù)|OA|=|OB|可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．由于A，B都在拋物線上進(jìn)而滿足y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，整理可得（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．根據(jù)x₁、x₂與p同號可知x₁+x₂+2p≠0進(jìn)而可得x₁=x₂．根據(jù)拋物線對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠AOx=30°，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用等邊三角形OAB的邊長為8$\sqrt{3}$，可得p，即可求拋物線E的方程．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠AOx=30°，則y²=2px，x=6p，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，y=2$\sqrt{3}$p．
∴A（6p，2$\sqrt{3}$p），
∵等邊三角形OAB的邊長為8$\sqrt{3}$，
∴（6p）²+（2$\sqrt{3}$p）=（8$\sqrt{3}$）²．
∴p=2，
∴拋物線E的方程為y²=4x．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和用待定系數(shù)法求得曲線方程的問題．是高考中經(jīng)�？嫉念}目，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．