Question

2．平面直角坐標系xoy中，點A（2，0）在曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=sinφ}\end{array}$（φ為參數(shù)，a＞0）上．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，若點M，N的極坐標分別為（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），且點M，N都在曲線C上，則$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 點A（2，0）在曲線C上，推導出曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．點M，N的直角坐標分別為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$））．從而得到$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+cos²θ），由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵點A（2，0）在曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=sinφ}\end{array}$（φ為參數(shù)，a＞0）上，
∵a＞0，∴a=2，
∴曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由題意得點M，N的直角坐標分別為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$））．
∵點M，N在曲線C₁ 上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+ρ${{\;}_{1}}^{2}$sin²θ=1，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+ρ${{\;}_{2}}^{2}$cos²θ=1．
∴$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+cos²θ）=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化及極徑平方的倒數(shù)和的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．