Question

9．某鋁制品廠(chǎng)在邊長(zhǎng)為40cm的正方形鋁板上割下四個(gè)半徑為20厘米的圓形（如圖所示的陰影部分）．該廠(chǎng)打算用余下的部分制作底面直徑和高相等的圓柱形包裝盒（接縫用料忽略不計(jì)）．問(wèn)：
（1）包裝盒的最大直徑是多少？（精確到0.01厘米）
（2）畫(huà)出你設(shè)計(jì)的剪裁圖．

Answer 1

分析 （1）以正方形的中心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，建立直線(xiàn)方程和圓的方程，數(shù)形結(jié)合求出滿(mǎn)足條件的最大直徑；
（2）根據(jù)（1）中解答思路，畫(huà)出滿(mǎn)足條件的裁剪圖即可．

解答 解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
若使底面直徑最大，應(yīng)如圖所示剪裁，
設(shè)底面半徑為r，由圓柱形包裝盒的底面直徑和高相等，
可得AD=2r，AB=2πr，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（πr，r），
直線(xiàn)AC的方程為：y=$\frac{1}{π}$x，…①
位于第一象限的弧所在的圓的方程為（x-20）²+（y-20）²=20²，…②，
將①代入②得：（πy-20）²+（y-20）²=20²，
解得：y≈3.01cm，或y≈12.23cm（舍去），
即r的最大值為3.01cm，
即包裝盒的最大直徑是6.02cm．
（2）滿(mǎn)足條件的剪裁圖如圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將形的問(wèn)題化為數(shù)的問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．