Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA=$\frac{3}{5}$，sinC=2cosB，且a=4，則△ABC的面積是8．

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡sinC=2cosB即可得出sinB，cosB，從而得出sinC，利用正弦定理求出b，代入面積公式即可得出三角形的面積．

解答 解：∵cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∵sinC=sin（A+B）=2cosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2cosB，
∴$\frac{4}{5}$cosB+$\frac{3}{5}$sinB=2cosB，即sinB=2cosB，∴tanB=2．
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sinC=2cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即$\frac{4}{\frac{4}{5}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，∴b=2$\sqrt{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=8．
故答案為：8．

點評 本題考查了正弦定理，兩角和差的三角函數(shù)，屬于中檔題．