【題目】設,函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)),且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調性;
(Ⅲ)證明:當時,在區(qū)間內恒成立.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析(Ⅲ)詳見解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由導數(shù)幾何意義得,分別求導得(Ⅱ)由于,所以根據(jù)導函數(shù)是否變號進行討論:當時,,在定義域內單調遞增,當時,先增后減再增(Ⅲ)證明不等式恒成立問題,一般轉化為對應函數(shù)最值問題,即證的最小值大于零,利用導數(shù)研究函數(shù)單調性:時,在區(qū)間內單調遞減,從而
試題解析:(Ⅰ),
由,得.……………………………………2分
(Ⅱ),
當時,即時,,從而函數(shù)在定義域內單調遞增,
當時,,此時
若,,則函數(shù)單調遞增;
若,,則函數(shù)單調遞減;
若時,,則函數(shù)單調遞增.……………………6分
(Ⅲ)令,則.
,令,則.
當時,,
又當時,,從而單調遞減;
所以.
故當時,單調遞增;
又因為,故當時,,
從而函數(shù)在區(qū)間單調遞減;
又因為
所以在區(qū)間恒成立.…………14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地擬建一座長為640米的大橋,假設橋墩等距離分布,經設計部門測算,兩端橋墩造價總共為100萬元,當相鄰兩個橋墩的距離為米時(其中).中間每個橋墩的平均造價為萬元,橋面每1米長的平均造價為萬元.
(1)試將橋的總造價表示為的函數(shù);
(2)為使橋的總造價最低,試問這座大橋中間(兩端橋墩除外)應建多少個橋墩?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進貨的量,該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中,隨機抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對象,如下圖所示((噸)為該商品進貨量, (天)為銷售天數(shù)):
(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網格中繪制散點圖:
(Ⅱ)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程;
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中的計算結果,若該商店準備一次性進貨該商品噸,預測需要銷售天數(shù);
參考公式和數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在對人們休閑方式的一次調查中,共調查了124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運動.
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;
(Ⅱ)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別與休閑方式有關系?
附:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點,點在軸上,點在軸的正半軸上,點在直線上,且滿足
(Ⅰ)當點在軸上移動時,求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點做直線與軌跡交于兩點,若在軸上存在一點,使得是以點為直角頂點的直角三角形,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地自來水苯超標,當?shù)刈詠硭緦λ|檢測后,決定在水中投放一種藥劑來凈化水質,已知每投放質量為的藥劑后,經過天該藥劑在水中釋放的濃度(毫克/升)滿足,其中,當藥劑在水中的濃度不低于5(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在水中的濃度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時稱為最佳凈化.
(Ⅰ)如果投放的藥劑質量為,試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天?
(Ⅱ)如果投放的藥劑質量為,為了使在9天(從投放藥劑算起包括9天)之內的自來水達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質量的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象上有一點列,點在軸上的射影是,且 (且), .
(1)求證: 是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(2)對任意的正整數(shù),當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(3)設四邊形的面積是,求證: .
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