【題目】如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面,且.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的大小為,求銳二面角的大。
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
試題分析:(1)證明線線垂直,一般利用線面垂直性質(zhì)定理進(jìn)行論證,而題中已知面面垂直平面側(cè)面,因此先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,將其轉(zhuǎn)化為線面垂直平面,其中為的中點(diǎn),因而有,再根據(jù)直三棱柱性質(zhì)得底面,因而有,結(jié)合線面垂直判定定理得側(cè)面,因此得證(2)求二面角平面角,一般利用空間向量進(jìn)行計算,先建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),可得直線方向向量,列方程組求平面法向量,由線面角與向量夾角互余關(guān)系,結(jié)合向量數(shù)量積得,易得平面的一個法向量,根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系,結(jié)合向量數(shù)量積得二面角大小
試題解析:(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,因,則,由平面側(cè)面,且平面側(cè)面,得平面,....................3分
又平面,所以,因為三棱柱是直三棱柱,則底面,所以...................5分
又,從而側(cè)面,又側(cè)面,故...........6分
(2)
解法一:連接,由(1)可知平面,則是在平面內(nèi)的射影...... 7分
∴即為直線與平面所成的角,則,在等腰直角中,,且點(diǎn)是中點(diǎn),
∴,且,∴..........9分
過點(diǎn)作于點(diǎn),連,由(1)知平面,則,且,
∴即為二面角的一個平面角,.................... 10分
在直角中:,又,
∴,且二面角為銳二面角,∴,
即二面角的大小為............. 12分
解法二(向量法):由(1)知且底面,所以以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,......................7分
如圖所示,且設(shè),則,
,設(shè)平面的一個法向量,由得:令,得,則,..........9分
設(shè)直線與平面所成的角為,則,得,解得, 即....................10分
又設(shè)平面的一個法向量為,同理可得,設(shè)銳二面角的大小為,則,且,得,∴銳二面角的大小為............12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程.
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng)為何實數(shù)時,方程表示的直線斜率不存在?求出這時的直線方程;
(3)已知方程表示的直線在軸上的截距為-3,求實數(shù)的值;
(4)若方程表示的直線的傾斜角是45°,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,設(shè).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)由的圖象經(jīng)過怎樣變換得到的圖象?試寫出變換過程;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)),且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)證明:當(dāng)時,在區(qū)間內(nèi)恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本,減少浪費(fèi),合理安排入住游客的用餐,他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù),發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化,并且有以下規(guī)律:
①每年相同的月份,入住客棧的游客人數(shù)基本相同;
②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少,在8月份最多,相差約400人;
③2月份入住客棧的游客約為100人,隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.
(1)若入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系可用函數(shù)(, , )近似描述,求該函數(shù)解析式;
(2)請問哪幾個月份要準(zhǔn)備不少于400人的用餐?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,記,求數(shù)列的前項和.
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