Question

7．求函數(shù)f（x）=asin²x+2asinx+4的值域．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=a（sinx+1）²+4-a，sinx∈[-1，1]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論，求得它的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=asin²x+2asinx+4=a（sinx+1）²+4-a，∵sinx∈[-1，1]，
故當(dāng)a＞0時(shí)，則sinx=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為4-a，sinx=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為4+3a，故函數(shù)的值域?yàn)閇4-a，4+3a]；
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閧4}．
當(dāng)a＜0時(shí)，則sinx=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為4-a；當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為3a+4，故函數(shù)的值域?yàn)閇4+3a，4-a]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．