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7.已知圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=9,P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積是67

分析 根據(jù)題意,AC為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的直徑,而BD是與AC垂直的弦.因此算出PM的長(zhǎng),利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)算出BD長(zhǎng),根據(jù)四邊形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積.

解答 解:∵圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=9,
∴圓心坐標(biāo)為M(1,1),半徑r=3.
∵P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn),
∴經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑是圓的最長(zhǎng)弦,且最短的弦是與該直徑垂直的弦.
結(jié)合題意,得AC是經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑,BD是與AC垂直的弦.
∵|PM|=122+122=2
∴由垂徑定理,得|BD|=27
因此,四邊形ABCD的面積是S=12|AC|•|BD|=12×6×27=67
故答案為67

點(diǎn)評(píng) 本題給出圓內(nèi)一點(diǎn)P,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦與最短的弦構(gòu)成的四邊形的面積.著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)間的距離公式和垂直于弦的直徑的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.

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