Question

12．如圖，在四凌錐中P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥平面PAD，從而AB⊥PD，再由PA⊥AD，能證明PD⊥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
所以AB⊥PD．
又因?yàn)镻A⊥AD，所以PD⊥平面PAB．…5分
解：（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，CO，
因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD．
又因?yàn)镻O?平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO．
因?yàn)锳C=CD，所以CO⊥AD．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得：
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）．
$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），
設(shè)平面的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x-z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2）．
設(shè)線PB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線與平面所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．