【題目】如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直線AB,且ABBP2,ADAE1,AEAB,且AEBP.

1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值;

2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請說明理由.

【答案】1.2)存在,當(dāng)N在點(diǎn)D處時,直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于.

【解析】

1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面PCD的一個法向量,易知平面ABPE的一個法向量,再利用面面角的向量方法求解.

2)假設(shè)線段PD上存在點(diǎn)N,設(shè)λ,則有(2λ,22λλ),再根據(jù)直線BN與平面PCD所成角α滿足sinα.sinα|cos,|求解.

1 AEAB,且AEBP,得BPAB.所以∠CBP是直二面角C-AB-P的平面角.

為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.

B(0,00),A(2,0,0),P(0,20),E(2,1,0)C(0,0,1),D(201)

(0,-21),(2,0,0)

設(shè)平面PCD的一個法向量為(a,b,c),

,不妨取(0,1,2)

易知平面ABPE的一個法向量為(0,0,1)

設(shè)平面PCD與平面ABPE所成的二面角的大小為θ,

則由圖可知θ.

cosθ|cos,|.

所以平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值為.

2 假設(shè)線段PD上存在點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角α滿足sinα.

sinα|cos,|.

設(shè)λλ(2,-2,1),其中λ[0,1].

(2λ22λ,λ)

由(1)知平面PCD的一個法向量(0,1,2),

所以

9λ28λ10,

解得λ1λ (舍去)

以當(dāng)N在點(diǎn)D處時,直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于.

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x

2

4

6

8

10

y

20.9

20.2

19

17.8

17.1

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(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果分析,為了保證平均每個加盟店的月營業(yè)額不少于14.6萬元,則A地開設(shè)加盟店的個數(shù)不能超過幾個?

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,

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