【題目】函數(shù),.
(Ⅰ)討論的極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)若對于,總有.(i)求實(shí)數(shù)的范圍; (ii)求證:對于,不等式成立.
【答案】見解析.
【解析】【試題分析】(Ⅰ)先運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再分類進(jìn)行探求; (Ⅱ)先將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行推證:
(Ⅰ)解法一:由題意得, 令
(1)當(dāng),即時,對恒成立
即對恒成立,此時沒有極值點(diǎn);…………2分
(2)當(dāng),即
①時,設(shè)方程兩個不同實(shí)根為,不妨設(shè)
則,故
∴時;在時
故是函數(shù)的兩個極值點(diǎn).
②時,設(shè)方程兩個不同實(shí)根為,
則,故
∴時,;故函數(shù)沒有極值點(diǎn). ……………………………4分
綜上,當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點(diǎn);
當(dāng)時,函數(shù)沒有極值點(diǎn). ………………………………………5分
解法二:, …………………………………………1分
,
當(dāng),即時,對恒成立,在單調(diào)增,沒有極值點(diǎn); ……………………………………………………………3分
②當(dāng),即時,方程有兩個不等正數(shù)解,
不妨設(shè),則當(dāng)時,增;時,減;時,增,所以分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),有兩個極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時,沒有極值點(diǎn);
當(dāng)時,有兩個極值點(diǎn). ………………………………5分
(Ⅱ)(i),
由,即對于恒成立,設(shè),
,
,時,減,時,增,
,. ……………………………………9分
(ii)由(i)知,當(dāng)時有,即:,……①當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, ……………………………10分
以下證明:,設(shè),,
當(dāng)時減,時增,
,,……②當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;
由于①②等號不同時成立,故有.……………………………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
.
(1)求
在
處的切線方程;
(2)令
,求
的單調(diào)區(qū)間;
(3)若任意
且
,都有
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時, ,則函數(shù)在區(qū)間[-7,1]上的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點(diǎn) 再取兩個動點(diǎn),,且.
(Ⅰ)求直線與交點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過的直線與軌跡C交于P,Q,過P作軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N,F為軌跡C的右焦點(diǎn),若,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圓上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,得曲線C.
(Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l: 與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1 P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)(,簡稱)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù),參與空氣質(zhì)量評價的主要污染物為等六項(xiàng).空氣質(zhì)量按照大小分為六級:一級為優(yōu);二級為良好;三級為輕度污染;四級為中度污染;五級為重度污染;六級為嚴(yán)重污染.
某人根據(jù)環(huán)境監(jiān)測總站公布的數(shù)據(jù)記錄了某地某月連續(xù)10天的莖葉圖如圖所示:
(1)利用訪樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良()的天數(shù);(按這個月總共30天計(jì)算);
(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳()的這些天中,隨機(jī)地抽取三天深入分析各種污染指標(biāo),求這三天的空氣質(zhì)量等級互不相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足對任意,,恒有,且不恒為0.
(1)求和的值;
(2)試判斷的奇偶性,并加以證明;
(3)若,恒有,求滿足不等式的的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2)若對于任意的, 恒成立,求的取值范圍;
(3)求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).
求證:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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