Question

8．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的坐標方程為ρ=2cosθ，直線l經(jīng)過點M（5，$\sqrt{3}$），且傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲線C的極坐標方程，即可得到所求直角坐標方程；運用直線的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得所求；
（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標方程，化簡整理，運用韋達定理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，
即為x²+y²=2x即（x-1）²+y²=1；           
又因為直線l過點M（5，$\sqrt{3}$），且傾斜角為$\frac{π}{6}$，
可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+tcos\frac{π}{6}}\\{y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程（x-1）²+y²=1，
得（4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t）²=1，
化簡得t²+5$\sqrt{3}$t+18=0，
即有t₁+t₂=-5$\sqrt{3}$，t₁t₂=18，
可得|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的求法，同時考查直線參數(shù)方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．