Question

20．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為1，且側棱與底面垂直，M是BC的中點．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（2）求直線BB₁與平面AB₁M所成角的正弦值；
（3）求點C到平面AB₁M的距離．

Answer 1

分析 （1）證明線面平行，通常利用線面平行的判定定理，這里我們可以利用中位線的性質(zhì)，得到線線平行；
（2）過B作BD⊥B₁M于D，易得BD⊥平面AB₁M，故∠BB₁D是直線BB₁與平面AB₁M所成角；
（3）M是BC的中點，點C與點B到平面AB₁M的距離相等．

解答 （1）證明：連接A₁B，交AB₁于O，連接OM 
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以O是A₁B的中點
因為O，M分別是A₁B和BC的中點，所以OM∥A₁C 
因為A₁C?面AB₁M，OM?面AB₁M
所以A₁C∥面AB₁M；
（2）解：由題意BB₁⊥AM，
∵M是BC的中點，∴BC⊥AM，
∴AM⊥平面B₁BM，
∴平面AB₁M⊥平面B₁BM，
過B作BD⊥B₁M于D，易得BD⊥平面AB₁M
故∠BB₁D是直線BB₁與平面AB₁M所成角．
Rt△BB₁D中，BD=$\frac{B{B}_{1}•BM}{{B}_{1}M}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BB₁D=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴直線BB₁與平面AB₁M所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）解：M是BC的中點，點C與點B到平面AB₁M的距離相等，
由（2）可知點B到平面AB₁M的距離BD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴點C到平面AB₁M的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 證明線面平行，通常運用線面平行的判定定理，求線面角遵循：作證求的步驟，屬于中檔題．