Question

8．已知函數(shù)$f（x）=xlnx-x+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{3}a{x^3}$，令f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=g（x）．
（I）判定y=g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（II）若曲線y=f（x）上存在兩條傾斜角為銳角且互相平行的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為y=g（x）在（0，+∞）有兩個零點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意，a＞0時(shí)，令h（x）=2lnx+x-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（I）g（x）=lnx+x-ax²（x＞0），$g′（x）=\frac{1}{x}+1-2ax=-\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，y=g（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）=0，
得2ax²-x-1=0得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{4a}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{4a}$且x₁＜0，x₂＞0，
在（0，x₂）上g′（x）＞0，g（x）遞增，在（x₂，+∞）上g′（x）＜0，g（x）遞減．
（II）為使曲線y=f（x）上存在兩條傾斜角為銳角且互相平行的切線，
則y=g（x）在（0，+∞）有兩個零點(diǎn)，
當(dāng)a≤0時(shí)，y=g（x）在（0，+∞）上遞增，不合題意，
∴a＞0則g（x₂）＞0，即$ln{x_2}+{x_2}-ax_2^2＞0$，
又$2ax_2^2-{x_2}-1=0$，得$ax_2^2=\frac{{{x_2}+1}}{2}$，∴$ln{x_2}+{x_2}-\frac{{{x_2}+1}}{2}＞0$，∴2lnx₂+x₂-1＞0，
令h（x）=2lnx+x-1，$h′（x）=\frac{2}{x}+1＞0$，h（x）為增函數(shù)，又h（1）=0，
∴x₂＞1，$2a=\frac{{{x_2}+1}}{x_2^2}=\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}={（{\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，
∵$0＜\frac{1}{x_2^2}＜1$，∴0＜2a＜2，∴0＜a＜1，
此時(shí)$g（{\frac{1}{e}}）=\frac{{-{e^2}+e-{a^2}}}{e^2}＜0$，
令r（x）=lnx-（x-1）得$r′（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)r′（x）＜0，r（x）遞減，r（x）=lnx-（x-1）＜r（1）=0⇒lnx＜x-1，
g（x）=lnx+x-ax²＜2x-ax²-1＜2x-ax²，
必存在x∈（x₂，+∞）使g（x）＜0，y=g（x）在（0，+∞）有兩個零點(diǎn)，
綜上0＜a＜1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．