Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3ax，x＜0\\ 2{e^x}-{x^2}+2ax，x＞0\end{array}\right.$，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）結(jié)合題意得到$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$，x₀＞0．設(shè)$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}$，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）x＞0時(shí)，f'（x）=2e^x-2x+2a，
依題意有f'（1）=2（e-1+a）=0，得a=1-e，
經(jīng)驗(yàn)證，0＜x＜1時(shí)，f'（x）=2（e^x-x+1-e）＜0，
x＞1時(shí)，f'（x）＞0，滿足極值要求．
（2）依題意，設(shè)存在f（x）=2e^x-x²+2ax（x＞0）圖象上一點(diǎn)（x₀，y₀），
使得（-x₀，-y₀）在f（x）=x²+3ax（x＜0）的圖象上，
則有$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0}，\;\;\\-{y_0}={（-{x_0}）^2}+3a（-{x_0}），\;\;\end{array}\right.$
得$2{e^{x_0}}-x_0^2+2a{x_0}=-x_0^2+3a{x_0}$，
化簡得：$a=\frac{{2{e^{x_0}}}}{x_0}$，x₀＞0．
設(shè)$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x}$，x＞0，則$g'（x）=\frac{{2{e^x}}}{x^2}（x-1）$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，
則g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
g（x）_min=g（1）=2e，
又x→0或x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，∴g（x）∈[2e，+∞）．
所以，a≥2e時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．