Question

（08年朝陽區(qū)綜合練習(xí)一）（14分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（Ⅱ）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．………………………………………………………………2分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

① 當(dāng)時(shí)，有上面的求解知，猜想成立．

② 假設(shè)時(shí)猜想成立，即成立，

則當(dāng)時(shí)，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設(shè)得，，

故．

這說明時(shí)，猜想也成立．

由①②知，對(duì)一切，成立 ．……………………………………5分

（Ⅱ）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090420/20090420091938014.gif' width=52>（），所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，  故 是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20. 同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80. 注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（Ⅲ）因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090420/20090420091939030.gif' width=93>，故，

所以．

又，

故對(duì)一切都成立，就是

對(duì)一切都成立．

設(shè)，則只需即可．

由于，

所以，故是單調(diào)遞減，于是．

令，即 ，

解得，或．

綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)存在，的取值范圍是

．…………………………………………………………14分

注：（1）2個(gè)空的填空題，第一個(gè)空給3分，第二個(gè)空給2分. （2）如有不同解法，請(qǐng)閱卷老師酌情給分.