【題目】已知函數(shù)f(x)=,把方程f(x)-x=0的根按從小到大順序排成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=_________。

【答案】

【解析】解答:

當(dāng)時(shí),,,

當(dāng)時(shí),,,

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

以此類(lèi)推,當(dāng) (其中)時(shí),

所以,函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為:(0,1)(1,2),

由于指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)。

然后①將函數(shù)y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位,即得到函數(shù)的圖象,

的部分,可見(jiàn)它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0,0).

即當(dāng)時(shí),方程有且僅有一個(gè)根x=0.

②、僦泻瘮(shù)圖象的部分,再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位,

即得y=x0<x1上的圖象,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋(gè)交點(diǎn)(1,1).

即當(dāng)0<x1時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=1.

③取②中函數(shù)y=x0<x1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行,

即得到y=x1<x2上的圖象,此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋(gè)交點(diǎn)(2,2).

即當(dāng)1<x2時(shí),方程f(x)x=0有且僅有一個(gè)根x=2.

④以此類(lèi)推,函數(shù)y=f(x)y=x(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交點(diǎn)依次為(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).

即方程f(x)x=0(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次為3,4,…,n+1.

綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為:

0,1,2,3,4,…,

∴該數(shù)列的前n項(xiàng)和,nN+.

故答案為: .

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