Question

【題目】若函數(shù)f（x）=1+ +sinx在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：記g（x）= +sinx﹣1， ∴g（﹣x）=
= ，
∴g（﹣x）+g（x）= +sinx﹣1+ =0，
∴g（﹣x）=﹣g（x）．
∴函數(shù)g（x）在奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的最大值記為a，（a＞0），
則g（x）在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的最小值為﹣a，
∴﹣a≤ +sinx﹣1≤a，
∴﹣a+2≤ +sinx+1≤a+2，
∴﹣a+2≤f（x）≤a+2，
∵函數(shù)f（x）=1+ +sinx在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
∴m=﹣a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故選D．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．