Question

已知函數(shù)f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）若曲線f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））（-

π

2

＜x₀＜

π

2

）處的切線平行直線y=

3

x，求在點(diǎn)P處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化簡函數(shù)，再求f（x）的定義域和值域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求在點(diǎn)P處的切線方程．

解答： 解：（1）f(x)=

2 3 sinxcosx+2cos2x-1+1

2cosx

=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)

由2cosx≠0，得x≠kπ+ π 2 (k∈Z)， ∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠kπ+ π 2 ，k∈Z} x+ π 6 ≠kπ+ 2π 3 (k∈Z)時，-2≤y≤2

，
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．…（6分）
（2）f/(x)=

3

cosx-sinx由題意得

f/(x0)= 3 cosx0-sinx0 =2cos(x0+ π 6 ) = 3

∴cos(x0+

π

6

)=

3

2

又∵-

π

3

＜x0+

π

6

＜

2π

3

，∴x0+

π

6

=

π

6

或-

π

6

，∴x0=0或-

π

3

切點(diǎn)為P(0，1)或P(-

π

3

，-1)，
切線方程為：y=

3

x+1和y=

3

x+

3 π

3

-1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．