Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）記，求的最小值；

（2）若有三個不同的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) g(a)的最小值為g(1)＝0．

(2) 0＜a＜1．

【解析】分析：（1）先求出，再求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得的最小值；（2）,因為有三個不同的零點，所以至少有三個單調(diào)區(qū)間，而方程至多有兩個不同正根，所以，有解得，，然后再證明在內(nèi)各有一個零點，可得的范圍是．

詳解：（1）g(a)＝lna2＋－2＝2(lna＋－1)，

g(a)＝2(－)＝，

所以0＜a＜1時，g(a)＜0，g(a)單調(diào)遞減；

a＞1時，g(a)＞0，g(a)單調(diào)遞增，

所以g(a)的最小值為g(1)＝0．

（2）f(x)＝－＝，x＞0．

因為y＝f(x)有三個不同的零點，所以f(x)至少有三個單調(diào)區(qū)間，

而方程x2＋(2a2－4a)x＋a4＝0至多有兩個不同正根，

所以，有解得，0＜a＜1．

由（1）得，當x≠1時，g(x)＞0，即lnx＋－1＞0，

所以lnx＞－，則x＞e－ (x＞0)，

令x＝，得＞e－．

因為f(e－)＜－＋－2＝－＜0，f(a2)＞0，

f(1)＝－2＝＜0，f(e2)＝＞0，

所以y＝f(x)在(e－，a2)，(a2，1)，(1，e2)內(nèi)各有一個零點，

故所求a的范圍是0＜a＜1．