Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，且底面.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先由底面，得到，再在平行四邊形中，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.

（2）由（1）知，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）證明：因為底面，所以，

因為平行四邊形中，，所以，

因為，所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，

所以即為二面角的平面角，即，

分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則,

則,

所以，

設平面的法向量為，

則，令，得，

所以與平面所成角的正弦值為.