Question

18．甲、乙、丙三人參加一個擲硬幣的游戲，每一局三人各擲硬幣一次；當(dāng)有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；否則就進入下一局，并且按相同的規(guī)則繼續(xù)進行游戲；規(guī)定進行第十局時，無論結(jié)果如何都終止游戲．已知每次擲硬幣中正面向上與反面向上的概率都是$\frac{1}{2}$，則下列結(jié)論中正確的是③．
①第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{3}$；
②第一局有人出局的概率是$\frac{1}{2}$；
③第三局才有人出局的概率是$\frac{3}{64}$；
④若直到第九局才有人出局，則甲出局的概率是$\frac{1}{3}$；
⑤該游戲在終止前，至少玩了六局的概率大于$\frac{1}{1000}$．

Answer 1

分析 三人各擲硬幣一次，所有的結(jié)果共8種．由于當(dāng)有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；
①當(dāng)有甲擲得的結(jié)果與其他二人不同時，共有2種結(jié)果
②第一局有人出局時，有6種結(jié)果，
③由于第三局才有人出局，則前兩局無人出局，
④由于直到第九局才有人出局，則前8局無人出局，則直到第九局才有人出局，
⑤若該游戲在終止前，至少玩了六局，則前5局無人退出，
即可求出相應(yīng)的概率．

解答 解：三人各擲硬幣一次，每一次扔硬幣都有2種結(jié)果，所有的結(jié)果共有2³=8種．
由于當(dāng)有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；
①當(dāng)有甲擲得的結(jié)果與其他二人不同時，有正反反，反正正，共有2種結(jié)果，故第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{4}$；
②第一局有人出局時，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6種結(jié)果，故第一局有人出局的概率是$\frac{3}{4}$；
③由于第三局才有人出局，則前兩局無人出局，故第三局才有人出局的概率是$\frac{2}{8}×\frac{2}{8}×\frac{6}{8}$=$\frac{3}{64}$；
④由于直到第九局才有人出局，則前8局無人出局，則直到第九局才有人出局，則甲出局的概率是$（\frac{2}{8}）^{8}×\frac{6}{8}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{4}^{9}}$；
⑤若該游戲在終止前，至少玩了六局，則前5局無人退出，故該游戲在終止前，至少玩了六局的概率為1-$\frac{6}{8}$-$\frac{2}{8}×\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{2}$×$\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{3}$×$\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{4}$×$\frac{6}{8}$=$\frac{1}{{4}^{5}}$．
故答案為：③．

點評 本題考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．