Question

7．設(shè)O是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，并且sin²A=sin（60°+B）sin（60°-B）+sin²B．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ） 若b=2，c=1，D為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意易知${sin^2}A=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}）（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB}）+{sin^2}B$，即可解得A的值．
（2）由余弦定理求得a的值，由勾股定理即可求得B=$\frac{π}{2}$，從而可求AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$的值．

解答 解：（1）易知${sin^2}A=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}）（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB}）+{sin^2}B$=$\frac{3}{4}{cos^2}B-\frac{1}{4}{sin^2}B+{sin^2}B=\frac{3}{4}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$，
⇒a=$\sqrt{3}$
⇒b²=a²+c²
⇒B=$\frac{π}{2}$
故在Rt△ABC中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．