Question

在（1+x+x²）ⁿ=D

0 n

+D

1 n

x+D

2 n

x²+…+D

r n

x^r+…+D

2n-1 n

x^2n-1+D

2n n

x²ⁿ的展開式中，把D

0 1

，D

1 n

，D

2 n

，…，D

2n n

叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D

0 2

，D

1 2

，D

2 2

，D

3 2

，D

4 2

的值；
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C

m n+1

=C

m-1 n

+C

m n

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D

m+1 n+1

（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明；
（3）求D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：排列組合,二項(xiàng)式定理

分析：（1）因?yàn)椋?+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，繼而求得相應(yīng)的值．
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得三項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，展開計(jì)算即可．
（3）分別寫出（1+x+x²）²⁰¹⁴和（x-1）²⁰¹⁴的展開式，而（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴，二項(xiàng)式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 2014

(x3)2014-r，得到的展開式中沒有x²⁰¹⁴項(xiàng)，問題得以解決．

解答： 解：（1）因?yàn)椋?+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
所以

D

0 2

=1，

D

1 2

=2

，D

2 2

=3

，D

3 2

=2，

D

4 2

=1．
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

C

m n+1

=

C

m-1 n

+

C

m n

（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

D

m+1 n+1

=

D

m-1 n

+

D

m n

+

D

m+1 n

，（1≤m≤2n-1）
因?yàn)椋?+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ，
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（D

0 n

+D

1 n

x+D

2 n

x²+…+D

r n

x^r+…+D

2n-1 n

x^2n-1+D

2n n

x^2n）．
上式左邊x^m+1的系數(shù)為

D

m+1 n+1

，
而上式右邊x^m+1的系數(shù)為

D

m+1 n

+D

m n

+

D

m-1 n

，
由（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ為恒等式，得
：

D

m+1 n+1

=

D

m-1 n

+

D

m n

+

D

m+1 n

，（1≤m≤2n-1）；
（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁴=D

0 2014

x⁰-D

1 2014

x¹+D

2 2014

x²-D

3 2014

x³+…+D

2014 2014

x²⁰¹⁴，
（x-1）²⁰¹⁴=C

0 2014

x²⁰¹⁴-C

1 2014

x²⁰¹³+C

2 2014

x²⁰¹²-…+C

2014 2014

．
∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴中x²⁰¹⁴系數(shù)為D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

，
又∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x-1）²⁰¹⁴=（x³-1）²⁰¹⁴            
而二項(xiàng)式（x³-1）²⁰¹⁴ 的通項(xiàng)Tr+1=

C

r 2014

(x3)2014-r，
因?yàn)?014不是3的倍數(shù)，所以（x³-1）²⁰¹⁴ 的展開式中沒有x²⁰¹⁴項(xiàng)，
由代數(shù)式恒成立，得
D

0 2014

C

0 2014

-D

1 2014

C

1 2014

+D

2 2014

C

2 2014

-D

3 2014

C

3 2014

+…+D

2014 2014

C

2014 2014

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．