Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a≤

1

2

）． 
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=0，則函數(shù)f（x）=-|x|-1，由此求得它的單調(diào)增區(qū)間．
（2）分①當a=0時、②當0＜a≤

1

2

時、③當a＜0時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a），綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）若a=0，則函數(shù)f（x）=-|x|-1，它的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0]．
（2）∵f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），
①當a=0時，函數(shù)f（x）=-|x|-1在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，最小值g（a）=f（2）=-3．
②當0＜a≤

1

2

時，f（x）=ax²-x+2a-1，f（x）的對稱軸為x=

1

2a

≥1，
若0＜a＜

1

4

，f（x）的對稱軸為x=

1

2a

＞2，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
最小值g（a）=f（2）=2a-3．
若

1

4

≤a≤

1

2

，f（x）的對稱軸為x=

1

2a

∈[1，2]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上最小值
g（a）=f（

1

2a

）=

8a2-4a-1

4a

．
③當a＜0時，f（x）=ax²-x+2a-1，f（x）的對稱軸為x=

1

2a

＜0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，最小值g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得，g（a）=

6a-3，a＜ 1 4 8a2-4a-1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2

．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．