【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)處切線方程;

2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)對(duì)任意,恒成立,求的范圍.

【答案】1;(2)答案見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率,最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程即可;

2)由對(duì)分類討論,當(dāng),,時(shí),分別求出的單調(diào)區(qū)間,能合并的合并即可;

3)由(2)根據(jù)的范圍,確定上的單調(diào)性及最值,求解關(guān)于不等式即可.

1)由題意,,

處的切線方程為:

當(dāng)時(shí),,,

所以切線方程為:

;

2)由(1)知,,

①當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

②當(dāng)時(shí),,

所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;

③當(dāng)時(shí),若,則,單調(diào)遞增,

,解得,或,

所以上單調(diào)遞增,

,解得,

所以上單調(diào)遞減;

,,解得,或

所以上單調(diào)遞增,

,解得,

所以上單調(diào)遞減,

綜上所述,時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為;

時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為

時(shí),的增區(qū)間為

時(shí),的增區(qū)間為,減區(qū)間為;

3)由對(duì)任意恒成立,

可轉(zhuǎn)化為恒成立,

由(2)知,①時(shí),上單調(diào)遞增,

所以,,

所以,解得;

②當(dāng),即時(shí),所以上單調(diào)遞增,

所以,,

所以,解得,所以;

③當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,所以,

所以,不等式無(wú)解;

④當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞減,

所以,,

所以,解得,所以;

綜上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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