Question

【題目】已知集合…，…，，對于…，，B＝（…，，定義A與B的差為

…，A與B之間的距離為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）證明：對任意，有

（i），且；

（ii）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；

（Ⅲ）對于……，再定義一種A與B之間的運(yùn)算，并寫出兩條該運(yùn)算滿足的性質(zhì)（不需證明）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】分析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以；（Ⅱ）（i）設(shè)………，因?yàn)?/span>，故，…，n），分兩種情況討論即可的結(jié)果；（ii）設(shè)…，…，…，記

記…，由（i）可知，，，

即…，先推導(dǎo)出不可能全為奇數(shù)，即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，從而可得結(jié)論；（Ⅲ）定義＝，…，則.

詳解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以.

（Ⅱ）（i）設(shè)………，

因?yàn)?/span>，故，…，n），

即….

又…，n.

當(dāng)時(shí)，有；

當(dāng)時(shí)，有；

故

（ii）設(shè)…，…，…，

記

記…，由（i）可知：

，

，

，

即中1的個(gè)數(shù)為k，中1的個(gè)數(shù)為，…

設(shè)t是使成立的i的個(gè)數(shù)，則有，

由此可知，不可能全為奇數(shù)，即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).

（Ⅲ）如可定義A·B＝，…，則A·B＝B·A，（A·B）·C＝A·（B·C）.