Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面邊長均為

2

，側(cè)棱長為1，點D在棱A₁C₁上．
（Ⅰ）若D為A₁C₁的中點，求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）設(shè)二面角A₁-AB₁-D的平面角為θ，

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），試探究當(dāng)λ為何值時，能使tanθ=2？

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁B交AB₁于點E，利用三角形中位線定理能證明BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）法一：過點D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面ABB₁A，過點M作MN⊥AB₁于N，連結(jié)DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角，由此能求出當(dāng)λ=

4

5

時，能使tan θ=2．
（Ⅱ）法二：以AB的中點O為的點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)λ=

4

5

時，能使tan θ=2．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)A₁B交AB₁于點E，由E為A₁B中點，
連結(jié)DE，∵D是A₁C₁中點，
∴DE∥BC₁，
又DE?平面AB₁D，BC₁不包含于平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）解法一：過點D作DM⊥A₁B₁于M，則DM⊥平面ABB₁A，
過點M作MN⊥AB₁于N，連結(jié)DN，則∠MND為二面角A₁-AB₁-D的平面角．（6分）
過點A₁作A₁F⊥AB₁于F，∵

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），
∴

A1M

A1B1

=

A1Dcos60°

A1C1

=

λ

2

，DM=A₁Dsin 60°=

6

2

λ．（8分）
∵A₁A=1，A₁B₁=

2

，則AB₁=

3

，
∴A₁F=

A1A×A1B1

AB1

=

6

3

．（9分）
∵

MN

A1F

=

MB1

A1B1

=

A1B1-A1M

A1B1

=1-

λ

2

，∴MN=

6

3

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-

λ

2

))．（10分）
∴tanθ=

DM

MN

=

6 2 λ

6 3 (1- λ 2 )

=

3λ

2-λ

，
由已知

3λ

2-λ

=2，解得λ=

4

5

故當(dāng)λ=

4

5

時，能使tan θ=2．（13分）
（Ⅱ）解法二：以AB的中點O為的點，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-

2

2

，0），A1(0，-

2

2

，1)，B1(0，

2

2

，1)，C1(-

6

2

，0，1)，（6分）

A1D

=λ

A1C1

(0＜λ＜1)，則D（-

6

2

λ，0，1），（7分）
設(shè)

n1

=(x，y，z)為平面AB₁D的一個法向量，
由

AD

•

n1

=0，

B1D

•

n

=0，
得

n1

=(1，

3 λ

λ-2

，

6 λ

2-λ

)，（9分）
又

n2

=(1，0，0)為平面AA₁B₁的一個法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1+( 3 λ λ-2 )2+( 6 λ 2-λ )2

=

2-λ

10λ2-4λ+4

，（10分）
∵tan θ=2，則cos θ=

5

5

，即cos＜n₁，n₂＞=

5

5

，
∴

2-λ

10λ2-4λ+4

=

5

5

．
化簡，得5λ²+16λ-16=0，即（5λ-4）（λ+4）=0．
∵0＜λ＜1，則λ=

4

5

．
∴當(dāng)λ=

4

5

時，能使tan θ=2．（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．