Question

在平面上給定一個(gè)△ABC，試判斷平面上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得線(xiàn)段AP的中點(diǎn)為M，線(xiàn)段BM的中點(diǎn)為N，線(xiàn)段CN的中點(diǎn)為P？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：平面上是否存在這樣的點(diǎn)P，只有一個(gè)．作l∥AC，使l與AC的距離等于AC上高的

2

7

，作m∥BC，使m與BC距離等于BC上高的

1

7

，交點(diǎn)為P，點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．

解答： 解：平面上是否存在這樣的點(diǎn)P，只有一個(gè)．
作l∥AC，使l與AC的距離等于AC上高的

2

7

，
作m∥BC，使m與BC距離等于BC上高的

1

7

，交點(diǎn)為P，
AP中點(diǎn)M，連結(jié)BM，連結(jié)CP，延長(zhǎng)交BM于N，
則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．

證明：如圖，S₁=S₂=

1

7

S_△ABC=S₃，
S4=S5+S6=

1- 3 7

2

=

2

7

，
S₂，S₃同底PC，它們?cè)赑C上的高相等，
S₂，S₃在PC上的高相等，也是S₅，S₆在PN上的高，
S5=S6=

1

7

，
S₅，S₆的高=P到BM的距離，故BM=MN，
S₅=S₃，故CP=PN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．