Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面EBD；
（Ⅱ）若PA=AB=AC=2，求三棱錐P-EBD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，得到BD⊥PA，又BD⊥PC，則BD⊥平面PAC，進(jìn)而有，平面PAC⊥平面EBD．
（Ⅱ）

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)锽D?平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD=120°．
所以S_△ABD=

1

2

BD•

1

2

AC=

3

．
設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，則（Ⅰ）可知，BD⊥OE．
所以S_△EBD=

1

2

BD•OE=

6

．
設(shè)三棱錐P-EBD的高為h，則

1

3

S_△EBD•h=

1

3

S_△ABD•AE，即

1

3

×

6

h=

1

3

×

3

×1，解得h=

2

2

．
∴V=

1

3

S△EBD•h=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：在本題的體積求解中，由E是PA的中點(diǎn)，可以直接將三棱錐P-EBD的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐A-EBD的體積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三棱錐E-ABD的體積，這樣計(jì)算也比較簡(jiǎn)單．