已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)xy恒有f(x)f(y)f(xy)且當x0,f(x)0,f(1)=-.

(1)求證:f(x)為奇函數(shù);

(2)求證:f(x)R上是減函數(shù);

(3)f(x)[3,6]上的最大值與最小值.

 

1)見解析(2)見解析(3最大值為2最小值為-4

【解析】(1)證明:令xy0,可得f(0)f(0)f(00)從而f(0)0.y=-x,可得f(x)f(x)f(xx)0f(x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).

(2)證明:設(shè)x1、x2R,x1x2,x1x20,于是f(x1x2)0.從而f(x1)f(x2)f[(x1x2)x2]f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0.所以f(x)為減函數(shù).

(3)【解析】
(2)所求函數(shù)的最大值為f(3),最小值為f(6)f(3)=-f(3)=-[f(2)f(1)]=-2f(1)f(1)=-3f(1)2f(6)=-f(6)=-[f(3)f(3)]=-4.于是f(x)[3,6]上的最大值為2最小值為-4

 

練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)x3(a>0a≠1)

(1)求函數(shù)f(x)的定義域;

(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;

(3)a的取值范圍使f(x)>0在定義域上恒成立.

 

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(1)yx22x ;

(2)f(x);

(3)yx|2x|.

 

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設(shè)a∈R,f(x) (x∈R),試確定a的值使f(x)為奇函數(shù);

 

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在平面直角坐標系xOy設(shè)定點A(a,a),P是函數(shù)y(x>0)圖象上一動點.若點PA之間的最短距離為2 ,則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________

 

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