Question

已知f（x）的定義域?yàn)镽，對任意x、y滿足下列條件f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2且f（1）=3，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，記g（x）=f（x）-1．
（1）求證：g（x+y）=g（x）g（y）；
（2）若對x∈R都有g(shù)（x）≠0，求證g（x）＞0，并證明g（x）是增函數(shù)；
（3）記a_n=f（n），求a_n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出g（x），g（y），g（x+y）的表達(dá)式，通過因式分解即可得證；
（2）x＞0，由題設(shè)得g（x）＞0，令x=y=0，求出f（0），注意g（x）≠0，即f（x）≠1，得到f（0）=2，再令x＜0，則-x＞0，由f（0）=2，求出f（-x），解f（-x）＞2，求出f（x）即可得到結(jié)論；運(yùn)用定義令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞2，運(yùn)用條件f（x+y）=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2和f（-x）=

f(x)

f(x)-1

，即可證得
f（x₂）＞f（x₁），即g（x₂）＞g（x₁），從而得證；
（3）求出f（n+1）=2f（n）-1，兩邊減1，得到{f（n）-1}是首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出f（n），從而得到a_n+1．

解答： （1）證明：∵g（x）=f（x）-1，∴g（y）=f（y）-1，
∴g（x+y）=f（x+y）-1=f（x）f（y）-f（x）-f（y）+2-1
=[f（x）-1][f（y）-1]=g（x）g（y）；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，記g（x）=f（x）-1，
則x＞0時(shí)，g（x）＞1，
若x=y=0，則f（0）=f（0）²-2f（0）+2，解得f（0）=2或1，
由于對x∈R都有g(shù)（x）≠0，即f（x）≠1，故f（0）=2，g（0）=1＞0，
令x＜0，則-x＞0，f（0）=f（x）f（-x）-f（x）-f（-x）+2，
即f（x）f（-x）=f（x）+f（-x），
∵f（-x）＞2，∴f（-x）=

f(x)

f(x)-1

＞2，解得1＜f（x）＜2，
∴x＜0時(shí)，g（x）＞0，
故對x∈R，g（x）＞0；
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞2，
即f（x₂）f（-x₁）-f（x₂）-f（-x₁）＞0，
由于f（-x）=

f(x)

f(x)-1

，即有f（-x₁）=

f(x1)

f(x1)-1

，
∴

f(x1)f(x2)

f(x1)-1

＞f（x₂）+

f(x1)

f(x1)-1

，∵f（x）＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），即有g(shù)（x₂）＞g（x₁），故g（x）是R上的增函數(shù)．
（3）解：a_n=f（n），a_n+1=f（n+1），
∵f（n+1）=f（n）f（1）-f（n）-f（1）+2，f（1）=3，
∴f（n+1）=2f（n）-1，f（n+1）-1=2[f（n）-1]，
∴{f（n）-1}是首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列，
∴f（n）-1=2•2^n-1=2ⁿ，f（n）=2ⁿ+1，f（n+1）=2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹+1．

點(diǎn)評：本題主要考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查函數(shù)的單調(diào)性定義及運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及運(yùn)用，屬于中檔題．