Question

下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(hào)(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))

  

 

Answer 1

【答案】

①④⑤

【解析】為了得到本題答案，必須對(duì)5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別．對(duì)于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．

 解法1  作正方體ABCD－A₁B ₁ C₁ D₁如附圖，與題設(shè)圖形對(duì)比討論．在附圖中，三個(gè)截面BA₁D、EFGHKR和CB ₁ D₁都是對(duì)角線l (即 AC₁)的垂面．

對(duì)比圖①，由MN∥BA _l，MP∥BD，知面MNP∥面BA _l D，故得l⊥面MNP．

對(duì)比圖②，由MN與面CB₁D₁相交，而過交點(diǎn)且與l垂直的直線都應(yīng)在面CB_l D_l內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．

對(duì)比圖③，由MP與面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．

對(duì)比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA ₁ D，故l⊥面MNP．

對(duì)比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．

綜合得本題的答案為①④⑤．

解法2  如果記正方體對(duì)角線l所在的對(duì)角截面為．各圖可討論如下：

在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故 l⊥面MNP．事實(shí)上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面 MNP．

在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．

在圖③中，點(diǎn)M在上的射影是l的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上的射影是上底面的內(nèi)點(diǎn)，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面 MNP．

在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對(duì)角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面 MNP．

在圖⑤中，點(diǎn)N在平面上的射影是對(duì)角線l的中點(diǎn)，點(diǎn)M、P在平面上的射影分別是上、下底面對(duì)角線的4分點(diǎn)，三個(gè)射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．

至此，得①④⑤為本題答案．