【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且an+1﹣3an=3n，（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣nan．

（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求滿足不等式的所有正整數(shù)n的值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2,3,4

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題干條件將表達(dá)式變形為：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，從而證得式子是等差數(shù)列；（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求和，解不等式即可。

解析：

（1）證明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，則an+1=3n+1bn+1．

代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得。

所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

（2）解：因?yàn)閿?shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=3﹣1a1=1，公差為等差數(shù)列，

則則an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．從而有。

故

則，由 得.

即3＜3n＜127，得1＜n≤4．

故滿足不等式的所有正整數(shù)n的值為2，3，4．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，向高為H的水瓶A，B，C，D同時(shí)以等速注水，注滿為止；

(1)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖中的a，則水瓶的形狀是________；

(2)若水量ν與水深h的函數(shù)圖像是下圖中的b，則水瓶的形狀是________；

(3)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖中的c，則水瓶的形狀是________；

(4)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的d，則水瓶的形狀是________。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分別是線段AB、AD、AA1的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ

＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直線l與平面BCC1B1不垂直；

④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線.

其中不成立的結(jié)論是________.(寫(xiě)出所有不成立結(jié)論的序號(hào))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱的棱長(zhǎng)為（ ）

A. 2 B. C. D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)、，直線、與直線： 分別交于點(diǎn)、，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求線段的長(zhǎng)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為對(duì)考生的月考成績(jī)進(jìn)行分析，某地區(qū)隨機(jī)抽查了名考生的成績(jī)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了如下的樣本頻率分布直方圖.

（1）求成績(jī)?cè)?/span>的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析成績(jī)與班級(jí)、學(xué)校等方面的關(guān)系，必須按成績(jī)?cè)購(gòu)倪@人中用分層抽樣方法抽取出人作出進(jìn)一步分析，則成績(jī)?cè)?/span>的這段應(yīng)抽多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線l：y＝x＋b (b>0)，拋物線C：y2＝2px(p>0)，已知點(diǎn)P(2，2)在拋物線C上，且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為.

(1)求直線l及拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③ ．

設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說(shuō)， 是

數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的

伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3．

（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,0)，其傾斜角為，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求傾斜角的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

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