Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex ， g（x）=kx+1．
（I）求函數(shù)y=f（x）﹣（x+1）的最小值；
（II）證明：當(dāng)k＞1時(shí)，存在x0＞0，使對于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）；
（III）若存在實(shí)數(shù)m使對任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知y=ex﹣x﹣1，∴y'=ex﹣1，
設(shè)y'＞0得x＞0，設(shè)y'＜0得x＜0，
∴函數(shù)y=ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
則當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為0
（II）證明：設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）=ex﹣kx﹣1，
∴h'（x）=ex﹣k，設(shè)h'（x）=0得x=lnk（k＞1），
∵k＞1，∴當(dāng)x∈（0，lnk）時(shí)，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，lnk）上單調(diào)遞減，
而h（0）=0，且h（x）是R上的連續(xù)函數(shù)，
∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，
即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，
∴取0＜x0≤lnk，則對任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x）
（III）①當(dāng)k＞1時(shí)，由（II）知存在x0＞0，
使對于任意x∈（0，x0）都有f（x）＜g（x），
則不等式|f（x）﹣g（x）|＞x
等價(jià)于g（x）﹣f（x）＞x，即（k﹣1）x+1﹣ex＞0，
設(shè)t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， t'（x）=k﹣1﹣ex ，
設(shè)t'（x）＞0得x＜ln（k﹣1），設(shè)t'（x）＜0得x＞ln（k﹣1），
若1＜k≤2，ln（k﹣1）≤0，
∵（0，x0）（ln（k﹣1），+∞），
∴t（x）在（0，x0）上遞減，注意到t（0）=0，
∴對任意x∈（0，x0），t（x）＜0，與題設(shè)不符，
若k＞2，ln（k﹣1）＞0，（0，ln（k﹣1））（﹣∞，ln（k﹣1）），
∴t（x）在（0，ln（k﹣1））上遞增，
∵t（0）=0，∴對任意x∈（0，ln（k﹣1）），t（x）＞0符合題設(shè)，
此時(shí)取0＜m≤min{x0 ， ln（k﹣1）}，
可得對任意x∈（0，m）都有|f（x）﹣g（x）|＞x
②當(dāng)k≤1時(shí)，由（I）知ex﹣（x+1）≥0，
f（x）﹣g（x）=ex﹣kx﹣1=ex﹣（x+1）+（1﹣k）x≥（1﹣k）x≥0，
對任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞x等價(jià)于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，
設(shè)φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，
則φ'（x）=ex﹣（k+1），
若k≤0，即有k+1≤1，∴對任意正數(shù)x，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上遞增，
∵φ（0）=0，∴φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
此時(shí)，m可取任意正數(shù)都符合題設(shè)，
若0＜k≤1，設(shè)φ'（x）＞0得x＞ln（k+1）＞0，
設(shè)φ'（x）＜0得x＜ln（k+1），
∴φ（x）在（0，ln（k+1））上遞減，注意到φ（0）=0，
∴對任意x∈（0，ln（k+1）），φ（x）＜0，不符合題設(shè)
綜上所述，滿足題設(shè)條件的k的取值范圍為{k|k≤0或k＞2}
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；（Ⅲ）通過討論k的范圍，①當(dāng)k＞1時(shí)，得到（k﹣1）x+1﹣ex＞0，設(shè)t（x）=（k﹣1）x+1﹣ex ， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；②當(dāng)k≤1時(shí)，等價(jià)于ex﹣（k+1）x﹣1＞0，設(shè)φ（x）=ex﹣（k+1）x﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．