Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜a²+a-4有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出f（x）的圖象，結合題意可得$\left\{\begin{array}{l}-2×0+m+1=4\\ 2×4-m-1=4\end{array}\right.$，由此求得m的值．
（Ⅱ）求得f（x）的最小值為2，可得2＜a²+a-4，由此求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵m＞1，∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+m+1，x＜1\\ m-1，1≤x≤m\\ 2x-m-1，x＞m\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
由f（x）＞4的解集為{x|x＜0或x＞4}及函數(shù)圖象，
可得$\left\{\begin{array}{l}-2×0+m+1=4\\ 2×4-m-1=4\end{array}\right.$，得m=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2x，x＜1}\\{2，1≤x≤3}\\{2x-4，x＞3}\end{array}\right.$，∴f（x）的最小值為2．
關于x的不等式f（x）＜a²+a-4有解，則2＜a²+a-4，即a²+a-6＞0，
即（a+3）（a-2）＞0，∴a＜-3，或a＞2，
實數(shù)a的取值范圍{a|a＜-3，或a＞2 }．

點評 本題考查學生對絕對值不等式的理解與運用，考查學生對絕對值函數(shù)的運算求解能力，考查分類與整合、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合等思想．本題以絕對值函數(shù)為背景，設置學生熟悉的絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)以及不等式求解問題，屬于中檔題．