Question

20．已知（x₀，y₀，z₀）是關(guān)于x、y、z的方程組$\left\{\begin{array}{l}{ax+by+cz=0}\\{cx+ay+bz=0}\\{bx+cy+az=0}\end{array}$的解．
（1）求證：$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=（a+b+c）•$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$；
（2）設(shè)z₀=1，a、b、c分別為△ABC三邊長(zhǎng)，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)a、b、c為不全相等的實(shí)數(shù)，試判斷“a+b+c=0”是“x₀²+y₀²+z₀²＞0”的④條件，并證明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．

Answer 1

分析 （1）將行列式的前兩列加到第三列上即可得出結(jié)論；
（2）由方程組有非零解得出$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=0，即$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$=0，將行列式展開(kāi)化簡(jiǎn)即可得出a=b=c；
（3）利用（1），（2）的結(jié)論即可答案．

解答 解：（1）證明：將行列式的前兩列加到第三列上，
得：$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{a}&&{a+b+c}\\{c}&{a}&{a+b+c}\\&{c}&{a+b+c}\end{array}|$=（a+b+c）•$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$．
（2）∵z₀=1，∴方程組有非零解，
∴$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=0，由（1）可知（a+b+c）•$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$=0．
∵a、b、c分別為△ABC三邊長(zhǎng)，∴a+b+c≠0，
∴$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$=0，即a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0，即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等邊三角形．
（3）若a+b+c=0，顯然（0，0，0）是方程組的一組解，即x₀²+y₀²+z₀²=0，
∴a+b+c=0”不是“x₀²+y₀²+z₀²＞0”的充分條件；
若x₀²+y₀²+z₀²＞0，則方程組有非零解，
∴$|\begin{array}{l}{a}&&{c}\\{c}&{a}&\\&{c}&{a}\end{array}|$=（a+b+c）•$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$=0．
∴a+b+c=0或$|\begin{array}{l}{a}&&{1}\\{c}&{a}&{1}\\&{c}&{1}\end{array}|$=0．
由（2）可知a+b+c=0或a=b=c．
∴a+b+c=0”不是“x₀²+y₀²+z₀²＞0”的必要條件．
故答案為④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了行列式變換，齊次線性方程組的解與系數(shù)行列式的關(guān)系，屬于中檔題．