Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的左焦點F與拋物線y²=-4x的焦點重合，直線x-y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D、E兩點，記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂，若存在，求直線AB的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 解：（1）通過拋物線方程可知c=1，利用點到直線的距離公式可知e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，結合a、b、c三者之間的關系可求出a=2、b=1，進而可得橢圓C的方程；
（2）通過假設存在直線AB使得S₁=S₂，則可設其方程為：y=k（x+1）（k≠0），并與橢圓C方程聯立，結合韋達定理可得G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），利用DG⊥AB可得D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），結合△GFD～△OED可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，聯立S₁=S₂整理得8k²+9=0，由于此方程無解推出假設不成立．

解答 解：（1）由題意，知：c=1，e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴該橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）結論：不存在直線AB，使得S₁=S₂．
理由如下：
假設存在直線AB，使得S₁=S₂，顯然直線AB不能與x、y軸垂直．
所以直線AB的斜率存在，設其方程為：y=k（x+1）（k≠0），
聯立直線AB與橢圓C方程，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
所以G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
由DG⊥AB，得：$\frac{{y}_{G}}{{x}_{G}-{x}_{D}}$×k=-1，解得：x_D=$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，即D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
因為△GFD～△OED，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$=$\frac{|DG|}{|OD|}$，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$•$\frac{|DG|}{|OD|}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，即$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，
又因為S₁=S₂，所以|GD|=|OD|，
所以$\sqrt{（\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}+（\frac{3k}{4{k}^{2}+3}）^{2}}$=|$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$|，
整理得：8k²+9=0，由于此方程無解，故不存在直線AB，使得S₁=S₂．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查轉化與化歸思想、方程思想，考查橢圓方程、直線方程、相似三角形等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．