Question

17．已知函數(shù)h（x）的圖象與函數(shù)g（x）=e^x的圖象關于直線y=x對稱，點A在函數(shù)f（x）=ax-x²（$\frac{1}{e}≤x≤e$，e為自然對數(shù)的底數(shù)）上，A關于x軸對稱的點A'在函數(shù)h（x）的圖象上，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{1，e+\frac{1}{e}}]$
• B． $[{1，e-\frac{1}{e}}]$
• C． $[{e-\frac{1}{e}，e+\frac{1}{e}}]$
• D． $[{e-\frac{1}{e}，e}]$

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)h（x）=lnx的圖象有交點，即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，然后利用導數(shù)法，可得實數(shù)a取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)h（x）的圖象與函數(shù)g（x）=e^x的圖象關于直線y=x對稱，∴h（x）=lnx，
若函數(shù)f（x）=ax-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與h（x）=lnx的圖象上存在關于直線y=0對稱的點，
則函數(shù)f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)h（x）=lnx的圖象有交點，
即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
則y′=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
當$\frac{1}{e}$≤x＜1時，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當1＜x≤e時，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故x=1時，函數(shù)取最小值1，
當x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)取最大值e+$\frac{1}{e}$，
∴實數(shù)a取值范圍是[1，e+$\frac{1}{e}$]，
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數(shù)圖象的交點與方程根的關系，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．